Conservacion de energia
Fuerzas
conservadoras y no conservadoras
Un
alpinista ejecuta un trabajo a medida que asciende un acantilado o una montaña
(Figura A). Un hombre hace trabajo a medida que arrastra una caja a través del
piso (Figura B). en ambos casos la fuerza ejercida por la persona es la que efectúa
el trabajo, pero en un sólo de los casos el trabajo es regresado como energía
cinética. Cuando la fuerza que crea el trabajo es regresada al sistema la
llamamos fuerzas conservadoras. Ejemplos de estas fuerzas son la gravedad o la
fuerza de un resorte. En caso contrario, cunado la fuerza no regresa el trabajo
la llamamos fuerzas no conservadoras como la fuerza de fricción.
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| Figura 1. Ambos personajes ejercen una fuerza para hacer un trabajo. |
Desde
el punto de vista matemático tenemos al alpinista que escala una montaña de
altura h y desciende al punto donde inicio. La fuerza ejercida por la
gravedad tiene una magnitud de mg apuntando hacia abajo (opuesta a la dirección
de movimiento), cuando asciende el trabajo es igual a -mgh. A medida que
desciende la misma altura h. la
fuerza de gravedad ejerce un trabajo en la dirección del movimiento +mgh.
El trabajo total que ejerce la fuerza de gravedad es la suma de estos y por lo
tanto es igual a cero. Esto es un ejemplo de un camino cerrado y cuando
el trabajo total realizado por una fuerza F sobre un objeto que se mueve
en un camino cerrado es cero, la fuerza es conservadora.
El círculo en la integral indica que la
integral se toma en un camino cerrado.
De
la misma forma podemos analizar al hombre arrastrando la caja. La caja se mueve
una distancia d y luego debe ser traída de vuelta para crear un camino
cerrado. Analizando el trabajo por la fuerza de fricción tenemos que la
magnitud de la fuerza de fricción es µn, donde n es la fuerza
normal, en una superficie horizontal es mg. La fuerza de fricción
siempre es opuesta a la dirección de movimiento. así el trabajo hecho cuando la
caja se desplaza una distancia d es -µmgd y cuando la caja se
trae de regreso es µmg(-d) = -µmgd. Por lo tanto el trabajo total de la
fuerza de fricción es -2µmgd lo que indica que la fuerza no es
conservadora.
Una de las aplicaciones de la ecuación 1 es el
trabajo hecho por una fuerza conservadora que se desplaza entre dos puntos es
independiente del camino tomado, solo importan los puntos extremos.
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| Figura 2. Diferentes caminos entre A y B pero lo unico que nos importa son los puntos en si. |
En
el caso de fuerzas no conservadoras el camino elegido afecta el trabajo como en
el caso de la fricción. La menor cantidad de trabajo se hace en el camino más
corto.
Energía
potencial.
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| Figura 3. A la hora de calcular su energia potencial queremos utilizar el camino mas simple. |
Si
movemos un libro del suelo a una mesa y lo dejamos en el borde de la mesa, este
posiblemente caerá y siempre decimos que es la gravedad que lo ocasiona pero ¿De
dónde saca el libro la energía para caer? Lo mismo cuando un patinador se
desliza sobre una rampa. De alguna forma tanto el libro como el patinador y
alpinista, para el caso, almacenan energía mientras hacen su ascenso y si el
alpinista se soltara o el libro se desliza por el borde o el patinador decide
descender, esa energía almacenada se convierte en energía cinética. Esto ocurre
en casos donde el trabajo es realizado por una fuerza conservadora y recibe el
nombre de energía potencial U.
El
cambio ΔUAB en energía potencial asociado con una fuerza
conservativa es el trabajo negativo realizado por esa fuerza a medida que actúa
sobre cualquier camino desde el punto A hasta el punto B.
El
símbolo de menos representa el almacenamiento de energía. Si la fuerza
conservadora hace trabajo positivo, entonces la energía potencial disminuye, en
cambio si la fuerza conservadora hace trabajo negativo la energía se
almacenará. En ambos casos el signo de menos lo maneja. La idea de dirección
negativa y positiva es difícil de entender pues en el día a día no pensamos de
esta forma pero tengamos presente que si el trabajo realizado almacena energía
entonces el trabajo es negativo, si la energía no se almacena el trabajo es
positivo.
Como
habíamos denotado que el camino elegido es irrelevante en una fuerza
conservativa pero por razones de simplificación siempre debemos elegir el
camino más simple, a menos que este sea especificado, veamos un ejemplo.
Una
ingeniera de 73 kg sale de su oficina en el piso 27 de un edificio y
toma un ascensor hasta el piso 41. Luego desciende al nivel de la calle. Si la ingeniera
elige el cero de energía potencial en su oficina y si la distancia de un piso
al siguiente es de 2.7 m, ¿cuál es la energía potencial de la ingeniera
(a) en su oficina, (b) en el piso 41 y (c) a pie de calle? ¿Cuál es la energía
potencial si elegimos el cero en el piso 41?
La
energía potencial gravitacional que encontramos es U = mgy esta fórmula
es aplicable para todos los casos cerca de la superficie de la tierra, es decir
distancias pequeñas en comparación al radio de la tierra.
Energía
Potencial Elástica
Cuando
estrechamos o comprimimos un resorte hacemos trabajo contra la fuerza del
resorte y este trabajo se almacena en energía potencial elástica. Podemos usar
la ecuación de la fuerza de un resorte para encontrar su energía potencial.
Si
tomamos U=0 cuando x=0, esto es cuando el resorte está en reposo,
podemos usar este resultado para escribir la energía potencial del resorte en
cualquier posición.
Lo
interesante de esta expresión es que es cuadrática creando así la gráfica de
una parábola donde su punto de estabilidad es el punto donde el resorte no
experimenta ninguna fuerza.
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| Figura 4. El punto de estabilidad es el lugar donde un cuerpo prefiere estar, esto tambien se conoce como estado fundamental. |
Ahora que entendemos sobre la energía potencial vamos a revisitar el teorema del trabajo y energía.
La
expresión del lado izquierdo (la suma de la energía cinética y potencial) se
conoce como la energía mecánica y esta ecuación nos muestra que el
cambio en la energía mecánica es igual al trabajo realizado por fuerzas no
conservadoras.
Si
no existen fuerzas no conservadoras presente, entonces la energía mecánica no
cambia.
La
energía mecánica con la que iniciamos es la misma con la que terminamos, esto
es lo que se conoce como la ley de la conservación de energía mecánica.
En la ausencia de fuerzas no conservadoras la energía cinética cambia por una
igual pero opuesta cantidad de energía potencial.
La
conservación de energía mecánica es uno de los principios más poderosos. Esta
tiene efecto desde las partículas subatómicas hasta la astrofísica. Todo está
sometido a esta ley. Vamos a ver algunos ejemplos.
Curvas
de Energía Potencial
Alguna
vez has visto una montaña rusa y preguntado ¿cómo funciona? ¿Qué clase de motor
puede impulsar esos asientos llenos de personas y hacer vueltas en una pista
tan simple? ¿No? Que extraño, porque yo si lo he hecho y la respuesta a esto se
encuentra en la conservación de la energía mecánica.
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| Figura 5. Ejemplo de una montaña rusa. |
Imaginemos
que la pista de la montaña rusa en la figura no está sujeta a la fricción y
queremos saber si es posible ir del punto A hasta el punto D y que velocidad es
necesaria para llegar hasta allá.
Para llegar al punto D el carrito debe superar el punto más alto que es el punto C. para lograr esto se requiere que la energía total del carro exceda la energía potencial en el punto C, es decir,
Asumiendo
que la energía potencial es cero al nivel del suelo (punto D) resolvemos la
ecuación para la velocidad.
Si
vA satisface estas condiciones entonces llegara hasta el
punto D. las montañas rusas son un gran ejemplo de graficas de energía
potencial vs posición, que son también conocidas como curvas de energía
potencial. Su trayectoria va a depender de su energía total.
En
los casos donde la energía no es muy grande decimos que está atrapado /
bloqueado por barreras potenciales o en un pozo potencial. Esta es una
aplicación muy importante en mecánica cuántica.
La
siguiente frase puede que resulte conocida y porque la hemos visto antes. Si te
resulta familiar es una señal del progreso que has a través de nuestro
material. Si consideramos cambios de posición pequeños x que mantienen
la fuerza constante podemos reescribir la energía potencial
En
el límite de xà 0
la expresión se convierte en una derivada.
La
ecuación tiene sentido en forma matemática y física pues la energía potencial
es la integral de la fuerza sobre la distancia así que no es sorpresa que la
fuerza sea la derivada de la energía potencial (la derivada y la integral son
operaciones opuestas).
Esto
será todo por ahora con respecto al tema. Espero les haya servido de ayuda. Si
tienen alguna pregunta o sugerencia por favor de ponerla en la sección de
comentarios. Aquí les dejo unos ejercicios de practica sobre el tema. Sus
respuestas serán publicadas en la próxima publicación.
- Un biólogo usa una pistola con resorte para disparar dardos tranquilizantes a un elefante. El resorte de la pistola tiene k = 875 N/m y se comprime una distancia x = 12 cm antes de disparar un dardo de 47 g. Suponiendo que el arma apunta horizontalmente, ¿A qué velocidad sale el dardo del arma?
- En la figura siguiente, el resorte tiene una constante k = 171 N/m y un bloque de 235 g que está colocado contra el resorte, que está comprimido 21 cm. Cuando se suelta el bloque, ¿A qué altura de la pendiente se eleva? Ignore la fricción.
Figura 6. configuracion de un bloque impulsado por un resorte hacia una rampa. - Un bloque de masa m se lanza desde un resorte de constante k que inicialmente se comprime una distancia x Después de dejar el resorte, el bloque se desliza sobre una superficie horizontal con coeficiente de fricción 2µ. Encuentre una expresión para la distancia que el bloque se desliza antes de detenerse.
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