Solución a Problemas de Conservación de Energía

    1. Un biólogo usa una pistola con resorte para disparar dardos tranquilizantes a un elefante. El resorte de la pistola tiene k = 875 N/m y se comprime una distancia x = 12 cm antes de disparar un dardo de 47 g. Suponiendo que el arma apunta horizontalmente, ¿A qué velocidad sale el dardo del arma?

    A la hora de trabajar problemas como este es bueno reescribir los detalles dados para saber que variables tenemos y cuales necesitamos encontrar. Esto nos sirve para reconocer el tipo de ecuaciones que necesitaremos usar. Podemos imaginar el escenario de la siguiente forma. 

Figura 1. Ejemplo del problema de pistola con resorte.

k = 875 N/m

x = 12 cm à 0.12 m

m = 47 g à 0.047 kg

v =?

    Esto es un ejemplo de conservación de energía ya que no hay fuerzas no conservadoras actuando y por lo tanto la energía del sistema es la misma. Solo nos interesan los estados inicial y final del problema para poder resolverlo.

 ΔK + ΔU = 0

Kinicial + Uinicial = Kfinal + Ufinal

Figura 2. Distribución de energía en el estado inicial y final del problema 1.

    Según la descripción del problema en el estado inicial toda la energía está contenida con el resorte, esto es energía potencial pero una vez liberado el dardo la energía almacenada se ha convertido en energía cinética. Esto nos permitirá simplificar nuestra ecuación.

 0 + Uinicial = Kfinal + 0

\frac{1}{2}kx_0^2 = \frac{1}{2}m{v^2}

    Como queremos saber su velocidad, aislamos la variable de la velocidad en la ecuación.

v = \sqrt {\frac{{kx_0^2}}{m}} = \sqrt {\frac{k}{m}} {x_0}

v = \sqrt {\frac{{875\,\frac{N}{m}}}{{47\,g}}} \left( {12\,cm} \right) = 16.4\,\frac{m}{s}

    Esta fórmula nos enseña que un coeficiente de resorte más rígido o una distancia de compresión más grande nos da una velocidad más alta. Por lo contrario, el aumento de la masa del dardo disminuirá la velocidad y esto tiene mucho sentido. 

    2. En la figura siguiente, el resorte tiene una constante k = 171 N/m y un bloque de 235 g que está colocado contra el resorte, que está comprimido 21 cm. Cuando se suelta el bloque, ¿A qué altura de la pendiente se eleva? Ignore la fricción.

Figura 3. configuración de la rampa y el resorte.

k = 171 N/m

m = 235 g à 0.235 kg

x = 21 cm à 0.21 m

h =?

Similar al problema anterior debemos analizar el inicio y el final para ver como la energía se transforma.

Figura 4. Distribución de energía del problema 2.

    Podemos ver que al inicio no tenemos ninguna energía cinética sino energía potencial por el resorte, Us. Luego de esto la energía se convierte en movimiento que ayuda al bloque a subir la rampa y al final donde la altura es máxima sabemos que la velocidad debe ser cero (ver newton) por lo que solo tenemos energía potencial debido a la gravedad, Ug.

Kinicial + Uinicial = Kfinal + Ufinal

0 + Uinicial = 0 + Ufinal

    La energía potencial del inicio no es producida de la misma forma que la energía potencial del final. Esto es lo que nos ayudara a calcular nuestra altura.

\frac{1}{2}k{x^2} = mgh

h = \frac{{k{x^2}}}{{2mg}}

h = \frac{{\left( {171\,\frac{N}{m}} \right){{\left( {21\,cm} \right)}^2}}}{{2\left( {235\,g} \right)\left( {9.81\frac{m}{{{s^2}}}} \right)}}

h = 1.64\,m

    Esto nos enseña que para conservar energía no siempre debemos iniciar con un tipo de energía y terminar con otro. Hay casos donde podemos iniciar y terminar con el mismo tipo de energía pero en el trascurso la energía cambia a diferentes formas. El entendimiento de lo pasa entre el inicio y el final es el estudio más profundizado de la conservación de la energía pero para nosotros solo nos interesan los extremos por ahora. La conservación es bastante flexible en este aspecto y permite por propiedades interesantes que sobresalgan.

    3. Un bloque de masa m se lanza desde un resorte de constante k que inicialmente se comprime una distancia x Después de dejar el resorte, el bloque se desliza sobre una superficie horizontal con coeficiente de fricción 2µ. Encuentre una expresión para la distancia que el bloque se desliza antes de detenerse.

Este caso no tiene conservación de energía ya que la fricción no es una fuerza conservadora, aun así podemos usar las mismas técnicas para encontrar una solución. Empecemos analizando los cambios de energía.

Figura 5. Distribución de energía del problema 3.

    Al principio solo tenemos la energía potencial del resorte. Esta se convierte en energía cinética; a medida que el bloque se desliza sobre la superficie su energía cinética disminuye hasta volverse cero cuando el bloque finalmente se detiene a la distancia máxima recorrida. Podemos usar la ecuación 5 para determinar el escenario que debemos calcular.

ΔK + ΔU = Wnc

(Kfinal -  Kinicial) + (Ufinal - Uinicial) = Wnc 

    Una vez más esto nos muestra que para calcular solo nos interesa el estado inicial y final de la energía y por la basado en la grafica podemos simplificar nuestra ecuación.

0 – 0 + 0 - Uinicial = Wnc

    El trabajo realizado por una fuerza no conservadora lo podemos calcular usando la ecuación del trabajo

Wnc = FΔx

    En este caso la fuerza es dada por la fuerza de fricción que es Ff = µn, donde µ es el coeficiente de fricción dado como 2µ en el problema y n es la normal mg. Recuerda que la fricción siempre será en dirección contraria a la dirección del movimiento, por lo tanto

Wnc = - 2μmg∆x

-Uinicial = Wnc

- \frac{1}{2}kx_0^2 = - 2\mu mg\Delta x

    Como queremos una expresión para la distancia resolvemos la ecuación para Δx y obtenemos la expresión deseada.

\Delta x = \frac{{kx_0^2}}{{4\mu mg}}

    Esta expresión nos muestra que mientras mas grande sea la compresión del resorte, x0 más lejos será su distancia final. De forma opuesta, mientras mas pesado sea el bloque menos distancia puede va a recorrer.

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