Movimientos en Dos y Tres Dimensiones - parte 2

 Vamos a comenzar con las ecuaciones de movimiento otra vez.

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    Como describimos anteriormente estas ecuaciones son muy útiles para movimientos con aceleración constante y en el marco multidimensional, la aceleración siempre está presente y los casos con aceleración constante son comunes y estos a su vez deben obedecer estas ecuaciones, pero se diferencian en que en sistemas multidimensionales son siempre vectoriales y deben tratarse como tal.

    Ejemplo: estás practicando windsurf a 5.8 m/s cuando golpea una ráfaga de viento, acelerando su tabla de windsurf a 1.2 m/s² a 60 grados con respecto a su dirección original. Si la ráfaga dura 7.7 s, ¿Cuál es el desplazamiento de la tabla durante este tiempo?

    La clave de resolver este tipo de problemas está en que “los movimientos en direcciones perpendiculares son analizadas de forma independiente”. Para encontrar el desplazamiento usamos la fórmula 4 que se puede aplicar para cada eje de forma independiente. 

    Hacemos el eje x en la dirección que practicamos el windsurf con una velocidad inicial  y para la aceleración tenemos su magnitud y dirección y debemos encontrar sus componentes. Como su origen no fue especificado, este es arbitrario (podemos elegirlo para hacer el trabajo más simple). Para hacer nuestros cálculos más fáciles elegimos  e  este es el origen y es el más simple de los casos que podemos elegir.

Entonces los componentes de la aceleración son.

Entonces usando la ecuación 4 para los ejes x e y lo simplificamos

Entonces el desplazamiento en forma de vector y su magnitud son.

Movimiento de proyectiles

    Un proyectil es un objeto que es lanzado al aire y se mueve bajo la influencia de la gravedad. Algunos ejemplos son el lanzamiento de una pelota, los fuegos artificiales, los misiles, las gotas de tintas de una impresora, entre otras más.

    Para trabajar con movimientos proyectiles debemos hacer las siguientes suposiciones: 1) omitir cualquier variación en dirección o magnitud de la aceleración gravitacional (es constante). 2)  omitimos la resistencia del aire. El primero es aplicable para todos los casos en los que el desplazamiento es pequeño en comparación con el radio de la tierra (el radio de la tierra es de ~ 6371 km). El segundo depende de la densidad del objeto. Si la relación entre el área de la superficie y la masa es grande se debe considerar la resistencia del aire, de otro modo podemos ignorarlo. 

    Para describir movimiento de proyectiles, las generalizaciones incluyen el eje y sea positivo hacia arriba y el eje x sea positivo hacia la derecha; solo existe aceleración de gravedad por lo que  y . Así que las ecuaciones a manipular son:

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    Ejemplo: Una fuerte inundación arrasó un tramo de la carretera, creando un corte de 2.3 m de profundidad. Un automóvil que se mueve a 35 m/s pasa directamente por el borde. ¿A qué distancia del borde del deslave aterriza?

    En este problema nos pregunta por la distancia recorrida en el eje x. Dadas las condiciones su velocidad inicial en el eje x, lo que significa. Así que podemos usar la ecuación 7, pero no conocemos el tiempo t que le toma al vehículo recorrer esta distancia. Como la elección de las coordenadas es arbitraria, elegimos nuestra posición inicial  y como está descrita en el problemacreando el siguiente bosquejo.

Usando ecuación 8 podemos encontrar el tiempo cuando toca el suelo y = 0

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Ahora que sabemos el tiempo podemos calcular la distancia.

    Recuerda que para resolver este tipo de problemas es importante responder tres preguntas: ¿Qué queremos saber? ¿Qué información tenemos? ¿Qué nos hace falta?

    A menudo lo que nos interesa es la trayectoria de un proyectil sin la necesidad de conocer los detalles en cada intervalo de tiempo, para ello podemos tomar los componentes de la velocidad y lo aplicamos a la ecuación.

Resolviendo la ecuación x para t, tenemos.

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Y ahora sustituimos t en la ecuación y para obtener la nueva expresión.

(12) trayectoria de un proyectil

Esta expresión nos da la trayectoria del proyectil independiente del tiempo. En caso de que queramos saber el rango del desplazamiento (la distancia recorrida en el eje x) debemos recordar que en este punto el valor de y = 0, así que.

Factorizando x tenemos.

Esto produce dos soluciones: x = 0 que es una solución trivial.

Resolviendo para x.

Como  podemos cancelar uno de los cosenos.

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Cómo podemos reescribirla como.

(14) rango de un proyectil

Movimiento circular uniforme (MCU)

    Un MCU es descrito por un objeto cuya trayectoria describe un desplazamiento circular con velocidad constante. A pesar de que su velocidad es constante, el movimiento experimenta aceleración debido al cambio de dirección de la velocidad.

    MCU es uno de los movimientos más comunes en el universo ya que los planetas se mueven en una órbita casi circular. En este movimiento el vector de la velocidad es tangente al círculo y perpendicular al vector de desplazamiento creando así un triángulo isósceles. De aquí podemos hacer la aserción.

Podemos encontrar la magnitud de la aceleración sustituyendo.

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    De aquí podemos concluir que la aceleración tiene una magnitud constante de v²/r y siempre apunta hacia el centro del círculo. Isaac Newton llamó a esto “aceleración centrípeta” que significa aceleración que apunta al centro.

    Ejemplo: Encuentre el período orbital (el tiempo para completar una órbita) de la Estación Espacial Internacional en su órbita circular a una altitud de 400 km, donde la aceleración de la gravedad es el 89% de su valor de superficie.

La velocidad de la órbita se encuentra dividiendo la circunferencia orbital (2πr) por el periodo T.

Resolvemos la ecuación para T.

    Como estamos calculando valores con respecto al centro del círculo debemos agregar el valor del radio de la tierra, así que el valor de r es igual al radio de la tierra sumado con la altitud. Mientras que la aceleración es 0.89g que corresponde al 89% del valor de la gravedad a la superficie (g = 9.81 m/s²).

    Esto es todo con respecto al movimiento en dos o más direcciones. Aquí les dejo algunos problemas para que puedan practicar los conceptos aquí aprendidos. Si tienen sugerencias por favor no duden de dejarlas en sus comentarios. Este tema contiene mucha matemática, pero trate de hacerla lo más simplificada posible. Si aparece algo que no puedan entender estaré muy complacido en poder clarificarlo. 

Problemas 

1. Camina al oeste 250 m, luego al norte 142 m. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de su vector de desplazamiento?
2. Un objeto se mueve a 21 m/ s a 165 grados en sentido antihorario desde el eje x. Encuentra las componentes x e y de su velocidad.
3. Desea remar directamente a través de un río de 59 m de ancho. Puede remar a una velocidad constante de 1,7 m/s en relación con el agua, y el río fluye a 0,75 m/s. (a) ¿Qué dirección debe tomar? (b) ¿Cuánto tiempo te tomará cruzar el río?
4. Un carpintero lanza una teja horizontalmente desde un techo de 8 m de altura a 15 m/s. (a) ¿Cuánto tiempo tarda la teja en llegar al suelo? (b) ¿Qué tan lejos se mueve horizontalmente? 
5. Estima la aceleración de la Luna, que completa una órbita casi circular de 385,000 km de radio en 27 días.