Movimientos en dos y tres dimensiones parte 1

    Hasta ahora hemos visto cómo la posición, la velocidad y la aceleración se relacionan entre sí, pero para que esta imagen sea precisa (más relacionada con el mundo real) debemos apreciarla en un marco similar a la realidad.

    En nuestra vida cotidiana percibimos el mundo en 3 dimensiones del espacio. Desde el punto de vista matemático podemos interactuar con el mundo mediante el uso de un marco que permite asignar valor, dirección y significado a una posición en el espacio. Este marco se denomina "sistema de coordenadas", siendo el más utilizado el sistema de coordenadas cartesiano, y las cantidades matemáticas en el sistema de coordenadas que poseen dirección y valores se denominan vectores. Es la interacción entre estos vectores lo que permite dar sentido a este mundo 3-Dimensional. Si no se siente cómodo con las operaciones vectoriales, le sugiero que lea la publicación “vectores” y vuelva aquí. Por ahora, lo más que usaremos de los vectores es la relación de magnitud, dirección y los componentes de un vector. 

Para un vector A = A_x î + A_y ĵ su magnitud y dirección se calculan usando

|A| = √(A_x² + A_y²) 

(1)

tan⁡θ = A_y / A_x  

(2)

Si conocemos la magnitud y dirección podemos encontrar los componentes del vector

A_x = |A|cos⁡θ

(3)

A_y = |A|sin⁡θ

 (4)

    Ejemplo #1. Conduces desde casa a la ciudad 78 km de distancia en dirección 60 ° noroeste. Expresa la nueva posición en los componentes del vector.

    Para expresar en forma de los componentes del vector necesitamos encontrar los componentes. En componente x = |r|cos⁡θ e y = |r|sin⁡θ donde |r| es la magnitud de la distancia.

x = |78 km|cos(60 °) = 39         y = |78 km|sin(60 °) = 39√3

Entonces la posicion es r = 39 î + 39√3 ĵ  

Velocidad y aceleración

    En la publicación anterior dijimos que el desplazamiento, la velocidad y la aceleraciones eran vectores. Cuandos nos referimos a desplazamientos en más de una dimensión usamos "r" como forma general r = xî + yĵ + zk̂  y la velocidad y la aceleracion tambien se puede describir como v = v_x î + v_y ĵ + v_z k̂   y a = a_x î + a_y ĵ + a_z k̂ respectivamente.

    A diferencia del movimiento en 1-D que tiene casos que no envuelve la aceleración, los movimientos en caminos curvados siempre tienen aceleración debido a que el movimiento en múltiples dimensiones significa cambio de dirección y cualquier cambio en velocidad, incluyendo dirección, es una aceleración (recuerda que la aceleración y la velocidad son derivadas del desplazamiento).

    En dos o más dimensiones la aceleración y velocidad pueden estar en cualquier ángulo. Un caso particularmente interesante es cuando la aceleración es perpendicular a la velocidad. En este caso solo la dirección del movimiento se ve afectado aunque la magnitud de la velocidad sea la misma.

 

Movimiento relativo

    Si existe un caso en la historia de la física que se debe conocer a profundidad es el de Galileo Galilei y su batalla con la iglesia católica con respecto al heliocentrismo (sistema donde el Sol es el centro y no la Tierra). Uno de los puntos que Galileo trataba de demostrar es lo que hoy se conoce como inercia, pero el punto más importante de su discusión esta basado en lo que es un marco de referencia.

    Supongamos que viajamos en un tren que se mueve a 100 km/h y empezamos a caminar dentro del tren en la dirección que el tren se mueve. ¿Cuál sería nuestra velocidad? A pesar de que la pregunta es bastante fácil, la respuesta no lo es pues para determinar la velocidad de un objeto primero debemos saber con respecto a que definimos la velocidad. Cuando decimos que el tren se mueve a 100 km/h nos referimos con respecto a la tierra. Pero el marco de referencia puede cambiar el valor de la velocidad pero su vector será el mismo, otro ejemplo es la persona caminando dentro del tren. Si decimos que se desplaza en la dirección que el tren se mueve entonces su velocidad con respecto al tren será "x" pero si velocidad con respecto a la tierra será 100 km/h + x pues su velocidad se suma a la velocidad del tren (en caso de moverse en dirección opuesta se restaría). La idea de un marco de referencia es muy importante para la física y las cantidades que representan indican quien es la persona interesada en resolver el problema.

    suponga que un avión vuela con una velocidad v' relativa al aire. sopla un viento, entonces el aire se mueve con cierta velocidad V en relación con el suelo. La velocidad del avión v relativa al suelo es la suma vectorial de su velocidad relativa al aire y la velocidad del aire relativa al suelo: 

v = v' + V

(5)

    Ejemplo #2. Un avión de pasajeros vuela a 800 km/h en relación con el aire. Va 1290 km hacia el norte. A una altitud de crucero, un viento sopla hacia el este a 200 km/h. ¿En qué dirección debería volar el avión? ¿Cuánto tiempo durará el viaje?

    Este es un problema que involucra velocidades relativas. dada la información conocemos la velocidad del avión pero no su dirección con respecto al aire; también conocemos la dirección del plano pero no su velocidad con respecto al suelo y la velocidad del viento con dirección y magnitud.

    La ecuación 5 se aplica e identificamos v como la velocidad del avión en relación con el suelo, v' como la velocidad del avión en relación con el aire, y V como la velocidad del viento. Debido a que conocemos la magnitud de v' pero no su dirección, necesitamos encontrar la velocidad del plano con respecto al suelo usando el teorema de Pitágoras.

    Aunque la ecuación 5 sugiere que los vectores se deben sumar, sus valores están en diferentes ejes, entonces los convertiremos en componentes vectoriales para encontrar las respuestas.

    Ahora podemos aplicar la ecuación 5 como dos ecuaciones escalares separadas para las componentes x e y.

    Aquí conocemos la magnitud de v' pero no el ángulo, así que resolvemos la ecuación para encontrar el ángulo en el componente x

    Este ángulo se mide desde el eje x, por lo que equivale a una trayectoria de vuelo de 14.5 grados al oeste del norte.

    Recorrer una distancia de 1290 km le llevará 1290 km / 775 km/h = 1.7 horas. Sin viento el viaje tomaría 1290 km / 800 km/h = 1.6 h por lo que nuestro tiempo de 1.7 h con viento tiene sentido.

Por ahora esto será todo. Esperen la segunda parte muy pronto. No olviden dejar sus comentarios y sugerencias debajo. Gracias por su continuo soporte.